Question

【題目】平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關系

（1）如圖a，若AB∥CD，點P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點P移到AB、CD內部，如圖b，以上結論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數量關系？請證明你的結論；

（2）在圖b中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉一定角度交直線CD于點Q，如圖c，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數量關系？（不需證明）

（3）根據（2）的結論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數．

Answer 1

【答案】（1）不成立．結論是∠BPD＝∠B+∠D，證明見解析；（2）；（3）360°.

【解析】

（1）延長BP交CD于E，根據兩直線平行，內錯角相等，求出∠PED=∠B，再利用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和即可說明不成立，應為∠BPD=∠B+∠D；

（2）作射線QP，根據三角形的外角性質可得；

（3）根據四邊形的內角和以及（2）的結論求解即可．

解：（1）不成立．結論是∠BPD＝∠B+∠D

延長BP交CD于點E，

∵AB∥CD

∴∠B＝∠BED

又∵∠BPD＝∠BED+∠D，

∴∠BPD＝∠B+∠D．

（2）結論：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．

作射線QP，

∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角，

∴∠BPE=∠B+∠BQE，∠DPE=∠D+∠DQP，

∴∠BPE+∠DPE=∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，即∠BPD=∠BQD+∠B+∠D；

（3）在四邊形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°，

又∵∠AGB＝∠CGF，

∴∠AGB +∠C+∠D+∠F=360°，

由（2）知，∠AGB=∠B+∠A+∠E，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．