Question

【題目】等腰被某一條直線分成兩個等腰三角形，并且其中一個等腰三角形與原三角形相似，則等腰的頂角的度數是____．

Answer 1

【答案】或或

【解析】

因為題中沒有指明是過頂角的頂點還是過底角的頂點，且其中一個等腰三角形與原三角形相似與故應該分三種情況進行分析，從而求解．

解：①如圖1，∵AB=AC，當BD=CD，CD=AD，

∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴4∠B=180°，

∴∠B=45°，

∴∠BAC=90°．

此時易知∠BDA=∠BAC=90°，∠ABD=∠ABC= 45°，故∽；

②如圖2，∵AB=AC，AD=BD，AC=CD，

∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，

∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，

∴∠BAC=3∠B，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴5∠B=180°，

∴∠B=36°，

∴∠BAC=108°．

此時易知∠BDA=∠BAC=108°，∠ABD=∠ABC= 36°， 故∽；

③如圖3，∵AB=AC，AD=BD=BC，

∴∠B=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，

∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，

∴∠ABC=∠C=2∠BAC，

∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，

∴5∠BAC=180°，

∴∠BAC=36°．

此時易知∠CBA=∠CDB=72°，∠BAC=∠DBC=36°，故有∽；

故答案為：或或．