Question

已知下面著名的“勾股定理”：在一個直角三角形中，兩條直角邊的平方之和等于斜邊的平方．
試問：是否存在同時滿足下列兩個條件的直角三角形？
（1）三條邊長均是正整數；
（2）一條直角邊為素數（也稱質數）p．若存在，請求出另一條直角邊長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：首先假設存在，設另一條直角邊長為x，斜邊長為y，則x、y為正整數，然后根據題意可得：p²+x²=y²，即可得：（y+x）（y-x）=p²，又由p為素數，討論分析即可求得．

解答：解：假設存在，令另一條直角邊長為x，斜邊長為y，則x、y為正整數．
由勾股定理得p²+x²=y²．
化為（y+x）（y-x）=p²．
因為p為素數（也稱質數），且y+x＞y-x，
所以只有

y+x=p2 y-x=1.

從而x=

p2-1

2

，y=

p2+1

2

．
若p=2，則x、y不是整數，這樣的三角形不存在；
若p為奇素數，x、y都是整數，這樣的三角形存在．
綜上所述，可知：p為偶素數2時，滿足條件的三角形不存在；p為奇素數時，滿足條件的三角形存在，且另一條直角邊長為

p2-1

2

．

點評：此題考查了素數的意義和勾股定理等知識．難度較大，要注意分類討論思想的應用．