Question

【題目】如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，交⊙O于點P，點B是⊙O上一點，連接BP并延長，交直線l于點C，使得AB=AC．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）PC=2 ，OA=4． ①求⊙O的半徑；
②求線段PB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結OB，如圖，

∵AB=AC，

∴∠1=∠2，

∵OA⊥AC，

∴∠2+∠3=90°，

∵OB=OP，

∴∠4=∠5，

而∠3=∠4，

∴∠5+∠2=90°，

∴∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，

∴OB⊥AB，

∴AB是⊙O的切線；

（2）解：①作OH⊥PB于H，如圖，則BH=PH，

設⊙O的半徑為r，則PA=OA﹣OP=4﹣r，

在Rt△PAC中，AC2=PC2﹣PA2=（2 ）2﹣（4﹣r）2，

在Rt△OAB中，AB2=OA2﹣OB2=42﹣r2，

而AB=AC，

∴（2 ）2﹣（4﹣r）2=42﹣r2，解得r=1，

即⊙O的半徑為1；

②∵⊙O的半徑為1

∴PA=3，

∵∠3=∠4，

∴Rt△APC∽Rt△HPO，

∴ = ，即 = ，

∴PH= ，

∴PB=2PH= ．

【解析】（1）連結OB，如圖，由等腰三角形的性質得∠1=∠2，∠4=∠5，由OA⊥AC得∠2+∠3=90°，加上∠3=∠4，易得∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，于是根據切線的判定定理可得AB是⊙O的切線；（2）作OH⊥PB于H，如圖，根據垂徑定理得到BH=PH，設⊙O的半徑為r，則PA=OA﹣OP=4﹣r，根據勾股定理得到AC，AB，然后根據相似三角形的性質即可得到結論．