Question

【題目】(1)問題提出：蘇科版《數學》九年級(上冊)習題2.1有這樣一道練習題：如圖①，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中點，點B、C、D、E是否在以點M為圓心的同一個圓上？為什么？

在解決此題時，若想要說明“點B、C、D、E在以點M為圓心的同一個圓上”，在連接MD、ME的基礎上，只需證明　 ．

(2)初步思考：如圖②，BD、CE是銳角△ABC的高，連接DE．求證：∠ADE＝∠ABC，小敏在解答此題時，利用了“圓的內接四邊形的對角互補”進行證明．(請你根據小敏的思路完成證明過程．)

(3)推廣運用：如圖③，BD、CE、AF是銳角△ABC的高，三條高的交點G叫做△ABC的垂心，連接DE、EF、FD，求證：點G是△DEF的內心．

Answer 1

【答案】(1)ME＝MD＝MB＝MC；(2)證明見解析；(3)證明見解析．

【解析】

(1)要證四個點在同一圓上，即證明四個點到定點距離相等．

(2)由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，即能證ME＝MD＝MB＝MC，得到四邊形BCDE為圓內接四邊形，故有對角互補．

(3)根據內心定義，需證明DG、EG、FG分別平分∠EDF、∠DEF、∠DFE．由點B、C、D、E四點共圓，可得同弧所對的圓周角∠CBD＝∠CED．又因為∠BEG＝∠BFG＝90°，根據(2)易證點B、F、G、E也四點共圓，有同弧所對的圓周角∠FBG＝∠FEG，等量代換有∠CED＝∠FEG，同理可證其余兩個內角的平分線．

解：(1)根據圓的定義可知，當點B、C、D、E到點M距離相等時，即他們在圓M上

故答案為：ME＝MD＝MB＝MC

(2)證明：連接MD、ME

∵BD、CE是△ABC的高

∴BD⊥AC，CE⊥AB

∴∠BDC＝∠CEB＝90°

∵M為BC的中點

∴ME＝MD＝BC＝MB＝MC

∴點B、C、D、E在以點M為圓心的同一個圓上

∴∠ABC+CDE＝180°

∵∠ADE+∠CDE＝180°

∴∠ADE＝∠ABC

(3)證明：取BG中點N，連接EN、FN

∵CE、AF是△ABC的高

∴∠BEG＝∠BFG＝90°

∴EN＝FN＝BG＝BN＝NG

∴點B、F、G、E在以點N為圓心的同一個圓上

∴∠FBG＝∠FEG

∵由(2)證得點B、C、D、E在同一個圓上

∴∠FBG＝∠CED

∴∠FEG＝∠CED

同理可證：∠EFG＝∠AFD，∠EDG＝∠FDG

∴點G是△DEF的內心