Question

如圖，已知△OAB的頂點A（﹣6，0），B（0，2），O是坐標原點，將△OAB繞點O按順時針旋轉90°，得到△ODC．

（1）寫出C，D兩點的坐標；
（2）求過A，D，C三點的拋物線的解析式，并求此拋物線頂點E的坐標；
（3）證明AB⊥BE．

Answer 1

解：（1）C（2，0），D（0，6）。
（2）頂點E的坐標為（﹣2，8）
（3）證明見解析

解析試題分析：（1）∵將△OAB繞點O按順時針旋轉90°，得到△ODC，∴△ODC≌△OAB。
∴OC=OB=2，OD=OA=6。∴C（2，0），D（0，6）。
（2）由于拋物線過點A（﹣6，0），C（2，0），所以設拋物線的解析式為y=a（x+6）（x﹣2）（a≠0），再將D（0，6）代入，求出a的值，得出拋物線的解析式，然后利用配方法求出頂點E的坐標。
∵拋物線過點A（﹣6，0），C（2，0），
∴可設拋物線的解析式為y=a（x+6）（x﹣2）（a≠0），
∵D（0，6）在拋物線上，∴6=﹣12a，解得a=。
∴拋物線的解析式為y=（x+6）（x﹣2），即y=x²﹣2x+6。
∵y=x²﹣2x+6=（x+2）²+8，∴頂點E的坐標為（﹣2，8）。
（3）已知A、B、E三點的坐標，運用勾股定理計算得出AB²=40，BE²=40，AE²=80，則AB²+BE²=AE²，根據勾股定理的逆定理即可證明AB⊥BE。
連接AE，

∵A（﹣6，0），B（0，2），E（﹣2，8），
∴AB²=6²+2²=40，
BE²=（﹣2﹣0）²+（8﹣2）²=40，
AE²=（﹣2+6）²+（8﹣0）²=80。
∴AB²+BE²=AE²。
∴△ABE是直角三角形。
∴AB⊥BE．