Question

【題目】如圖，在ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分線，∠ABC的平分線 BM交AE于點M，點O在AB上，以點O為圓心，OB的長為半徑的圓經過點M，交BC于點G，交 AB于點F．

（1）求證：AE為⊙O的切線．

（2）若BC=8，AC=12時，求⊙O的半徑和線段BG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）半徑為3，BG=2

【解析】

（1）連接OM，由AB=AC、AE平分∠BAC，得到AE⊥BC；利用角平分線的性質和等腰三角形的性質，得到OM∥BC；再利用平行線的性質得到AE⊥OM，即可證得AE為⊙O的切線．

（2）設⊙O的半徑為R，根據OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用相似三角形的性質得到，即，解得R=3，從而求得⊙O的半徑；過點O作OH⊥BG于點H，則BG=2BH，根據∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四邊形OMEH是矩形，從而得到HE=OM=3和BH=1，證得結論BG=2BH=2．

（1）證明：如圖，連接OM，

∵AB=AC，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC，

∵OB=OM，

∴∠OBM=∠OMB，

∵BM平分∠ABC，

∴∠OBM=∠CBM，

∴∠OMB=∠CBM，

∴OM∥BC，

又∵AE⊥BC，

∴AE⊥OM，

∴AE是⊙O的切線；

（2）解：設⊙O的半徑為R，

∵BC=8，

∴BE=BC=4，

∵OM∥BE，

∴△OMA∽△BEA，

∴，

即，

解得：R=3，

∴⊙O的半徑為3；

如圖，過點O作OH⊥BG于點H，

則BG＝2BH，

∵∠OME＝∠MEH＝∠EHO＝90°，

∴四邊形OMEH是矩形，

∴HE＝OM＝3，

∴BH＝BE-HE=BC - HE =4-3=1，

∴BG＝2BH＝2.