Question

【題目】已知，如圖：AB為⊙O直徑，D為弧AC中點，DE⊥AB于E，AC交OD于點F，

（1）求證：OD∥BC；

（2）若AB＝10cm，BC＝6cm，求DF的長；

（3）探索DE與AC的數量關系，直接寫出結論不用證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）2cm（3）DE＝AC

【解析】

（1）根據圓周角定理，由AB為直徑得到∠ACB=90°，再根據垂徑定理，由D為弧AC中點得到OD⊥AC，則∠AFO=90°，于是根據平行線的判定方法即可得到OD∥BC；

（2）先判斷OF為△ACB的中位線，則OF=BC=3cm，然后利用DF=OD-OF求解；

（3）由OF為△ACB的中位線得到AF=CF，再證明△ODE≌△OAF，得到DE=AF，由此得到DE=AC．

（1）證明：∵AB為直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵D為弧AC中點，

∴OD⊥AC，

∴∠AFO＝90°，

∴OD⊥BC；

（2）解：∵OF∥BC，

而OA＝OB，

∴OF為△ACB的中位線，

∴OF＝BC＝3cm，

∴DF＝OD﹣OF＝5cm﹣3cm＝2cm；

（3）解：DE＝AC．