Question

（2012•宿遷模擬）如圖，△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，AC=4，BC=3，P為AB上一動點，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，則線段EF長度的最小值是

12

5

．

Answer 1

分析：先由矩形的判定定理推知四邊形PECF是矩形；連接PC，則PC=EF，所以要使EF，即PC最短，只需PC⊥AB即可；然后根據三角形的等積轉換即可求得PC的值．

解答：解：連接PC．
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；
又∵∠ACB=90°，
∴四邊形ECFP是矩形，
∴EF=PC，
∴當PC最小時，EF也最小，
即當CP⊥AB時，PC最小，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴

1

2

AC•BC=

1

2

AB•PC，
∴PC=

12

5

．
∴線段EF長的最小值為

12

5

；
故答案是：

12

5

．

點評：本題考查了勾股定理、矩形的判定與性質、垂線段最短．利用“兩點之間垂線段最短”找出PC⊥AB時，PC取最小值是解答此題的關鍵．