Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F．

（1）求證：AB=AC；

（2）若AD=，∠DAC=30°，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4．

【解析】

試題分析：（1）先證明△DEB≌△DFC得∠B=∠C由此即可證明．

（2）先證明AD⊥BC，再在RT△ADC中，利用30°角性質設CD=a，AC=2a，根據(jù)勾股定理列出方程即可解決問題．

試題解析：（1）證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，在RT△DEB和RT△DFC中，∵BD=DC，DE=DF，∴△DEB≌△DFC，∴∠B=∠C，∴AB=AC．

（2）∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC，在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=，∠DAC=30°，∴AC=2CD，設CD=a，則AC=2a，∵，∴，∵a＞0，∴a=2，∴AC=2a=4．