Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，AB=4，點P是BC邊上的動點，點P關于直線AB，AC的對稱點分別為M，N，則線段MN長的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】6≤MN≤4
【解析】解：（解法一）如圖1，當點P為BC的中點時，MN最短． 此時E、F分別為AB、AC的中點，
∴PE= AC，PF= AB，EF= BC，
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=6；
如圖2，當點P和點B（或點C）重合時，此時BN（或CM）最長．
此時G（H）為AB（AC）的中點，
∴CG=2 （BH=2 ），
CM=4 （BN=4 ）．
故線段MN長的取值范圍是6≤MN≤4 ．
故答案為：6≤MN≤4 ．

（解法二）連接PM交AB于點E，連接PN交AC于點F，過點M作MD⊥PN于點D，如圖3所示．
設BP=x（0≤x≤4），則PE= x，CP=4﹣x，PF= （4﹣x），
∴PM= x，PN= （4﹣x）．
∵∠B=∠C=60°，
∴∠BPE=∠CPF=30°，
∴∠MPD=∠BPE+∠BPD=∠BPE+∠CPF=60°，
∴DP= PM= x，MD= PM= x．
在Rt△MDN中，MD= x，ND=PN+PD= （4﹣x）+ x= （8﹣x），
∴MN2=MD2+ND2=3（x﹣2）2+36，
∴當x=2時，MN取最小值6；當x=0或x=4時，MN取最大值4 ．
故答案為：6≤MN≤4 ．
（解法三）連接AM、AN、AP，過點A作AD⊥MN于點D，如圖所示．
∵點P關于直線AB，AC的對稱點分別為M，N，
∴AM=AP=AN，∠MAB=∠PAB，∠NAC=∠PAC，
∴△MAN為頂角為120°的等腰三角形，
∴∠AMD=30°，
∴AD= AM，MD= AM，MN= AM．
∵AM=AP，2 ≤AP≤4，
∴6≤MN≤4 ．
故答案為：6≤MN≤4 ．


（方法一）當點P為BC的中點時，MN最短，求出此時MN的長度，當點P與點B（或C）重合時，BN（或CM）最長，求出此時BN（或CM）的長度，由此即可得出MN的取值范圍．
（方法二）連接PM交AB于點E，連接PN交AC于點F，過點M作MD⊥PN于點D，設BP=x（0≤x≤4），則PE= x，CP=4﹣x，PF= （4﹣x），根據等邊三角形的性質結合軸對稱的性質即可得出PM、PN的長度，由角的計算可得出∠MPD=60°，進而可得出MD、PD的長度，在Rt△MDN中，利用勾股定理即可得出MN2=MD2+ND2=3（x﹣2）2+36，再根據二次函數的性質即可解決最值問題．
（方法三）連接AM、AN、AP，過點A作AD⊥MN于點D，由對稱性可知AM=AP=AN、△MAN為頂角為120°的等腰三角形，進而即可得出MN= AP，再根據AP的取值范圍即可得出線段MN長的取值范圍．