Question

【題目】拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在B左邊），與y軸交于點C．

（1）如圖1，已知A（﹣1，0），B（3，0）．

①直接寫出拋物線的解析式；

②點H在x軸上，D（1，0），連接AC，DC，HC，若CD平分∠ACH，求點H的坐標；

（2）如圖2，直線y＝﹣1與拋物線y＝﹣x2+bx+c交于點D，點E，D關于x軸對稱．

①若點D在拋物線對稱軸的右側，求證：DB⊥AE；

②若點D在拋物線對稱軸的左側，請直接判斷，BD是否垂直AE？

Answer 1

【答案】（1）①y＝﹣x2+2x+3；②點H的坐標為（，0）；（2）①見解析；②DB⊥AE

【解析】

（1）①用待定系數法解答便可；

②過D作DE⊥AC于點E，DF⊥CH于點F，求出DF，設H（m，0），再由三角形的面積公式列出m的方程進行解答；

（2）①設DE與x軸的交點為G點，連接DB，并延長DB與AE交于點H，運用求函數圖象的交點坐標的方法求出A、B，D點坐標，求得DG、BG、AG、EG，再證明△DBG∽△AGE便可得結論；

②仿照上面方法便可得結論．

解：（1）①把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得

，

∴，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3；

②過D作DE⊥AC于點E，DF⊥CH于點F，如圖1，

∵y＝﹣x2+2x+3

∴C（0，3），

∴OC＝3，

∵A（﹣1，0），B（3，0），D（1，0），

∴OA＝1，OB＝3，OD＝1，AD＝2，

∴，

∵，

∴，

∵CD平分∠ACH，

∴，

設點H的坐標為（m，0），則DH＝m﹣1，，

∵，

∴，

∴m＝﹣1（舍去），或，

∴點H的坐標為（，0）；

（2）①設DE與x軸的交點為G點，連接DB，并延長DB與AE交于點H，如圖2，

∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在B左邊），

∴，，

∵直線y＝﹣1與拋物線y＝﹣x2+bx+c交于點D，點D在拋物線對稱軸的右側，

∴D點的坐標為，

∵點E，D關于x軸對稱，

∴，DG＝EG＝1，

∴，

∴，，

∴，

∵∠DGB＝∠AGE＝90°，

∴△DGB∽△AGE，

∴∠BDG＝∠EAG，

∵∠EAG+∠AEG＝90°，

∴∠BDG+∠AEG＝90°，

∴∠DHE＝90°，

∴DB⊥AE；

②BD⊥AE．如圖3，

∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在B左邊），

∴，，

∵直線y＝﹣1與拋物線y＝﹣x2+bx+c交于點D，點D在拋物線對稱軸的左側，

∴D點的坐標為，

∵點E，D關于x軸對稱，

∴，DG＝EG＝1，

∴，

，

∴，

∵∠DGB＝∠AGF＝90°，

∴△DGB∽△AGE，

∴∠BDG＝∠EAG，

∵∠EAG+∠AEG＝90°，

∴∠BDG+∠AEG＝90°，

∴∠DHE＝90°，

∴DB⊥AE．

故答案是：（1）①y＝﹣x2+2x+3；②點H的坐標為（，0）；（2）①見解析；②DB⊥AE