Question

【題目】如圖形似“w”的函數是由拋物線y1的一部分，其表達式為：y1=（x2﹣2x﹣3）（x≤3）以及拋物線y2的一部分所構成的，其中曲線y2與曲線y1關于直線x=3對稱，A、B是曲線y1與x軸兩交點（A在B的左邊），C是曲線y1與y軸交點．

（1）求A，B，C三點的坐標和曲線y2的表達式；

（2）我們把其中一條對角線被另一條對角線垂直且平分的四邊形稱為箏形．過點C作x軸的平行線與曲線y1交于另一個點D，連接AD．試問：在曲線y2上是否存在一點M，使得四邊形ACDM為箏形？若存在，計算出點M的橫坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣）．y2=（x2﹣10x+21）（x≥3）；（2）存在，xM=．

【解析】

試題分析：（1）根據y1的解析式求出A,B,C三點坐標，再根據曲線y2與曲線y1關于直線x=3對稱，求出y2與x軸的交點坐標，最后由待定系數法求出函數y2解析式即可；（2）先確定出點P的坐標和CP的解析式，然后與y2解析式形成方程，從而求出M點的橫坐標．

試題解析：（1）根據y1的解析式求出A,B,C三點坐標，在y1=（x2﹣2x﹣3）中，令y1=0，則有（x2﹣2x﹣3）=0，解得x=﹣1或x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵C為曲線y1與y軸的交點，∴C（0，﹣）．又∵曲線y1與曲線y2關于直線x=3對稱，∴曲線y2與x軸兩交點坐標分別為（3，0）與（7，0），因為兩拋物線形狀相同，所以a值相同，∴y2=（x﹣3）（x﹣7）=（x2﹣10x+21）（x≥3）；（2）如圖，

過點D作DG⊥x軸，過點P作PH⊥x軸，∴PH=DG=，AH=AG=，∴OH=AH﹣AO=，∴P（，），∴設線段AD的垂直平分線CP的解析式為y=kx+m，∵點C（0，﹣），∴，∴，∴CP的解析式為y=x﹣，若直線CP與曲線y2=（x2﹣10x+21）（x≥3）有交點，則（x2﹣10x+21）=x﹣，化簡得：，解得：x=或x=（舍去，∵x＜3）．∴xM=．