Question

【題目】問題背景：如圖1,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,作AD⊥BC于點D,則D為BC的中點,∠BAD= ∠BAC=60°,于是 = ；

遷移應用：如圖2,△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠ADE=120°，D，E，C三點在同一條直線上，連接BD.

①求證：△ADB≌△AEC；

②請直接寫出線段AD，BD，CD之間的等量關系式；

拓展延伸：如圖3,在菱形ABCD中,∠ABC=120°，在∠ABC內作射線BM，作點C關于BM的對稱點E，連接AE并延長交BM于點F，連接CE，CF.

①證明△CEF是等邊三角形；

②若AE=5，CE=2，求BF的長。

Answer 1

【答案】遷移應用①見解析；②CD=AD+BD；拓展延伸①見解析；②3

【解析】

遷移應用：①如圖②中，只要證明∠DAB=∠CAE，即可根據SAS解決問題；

②結論：CD=AD+BD．由△DAB≌△EAC，可知BD=CE，在Rt△ADH中，DH=ADcos30°= AD，由AD=AE，AH⊥DE，推出DH=HE，由CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD，即可解決問題；

拓展延伸：①如圖3中，作BH⊥AE于H，連接BE．由BC=BE=BD=BA，FE=FC，推出A、D、E、C四點共圓，推出∠ADC=∠AEC=120°，推出∠FEC=60°，推出△EFC是等邊三角形；

②由AE=5，EC=EF=2，推出AH=HE=2.5，FH=4.5，在Rt△BHF中，由∠BHF=30°，可得

=cos30°，由此即可解決問題．

遷移應用：①證明：如圖②

∵∠BAC=∠ADE=120°，

∴∠DAB=∠CAE，

在△DAE和△EAC中，

，

∴△DAB≌△EAC，

②結論：CD=AD+BD.

理由：如圖21中，作AH⊥CD于H.

∵△DAB≌△EAC，

∴BD=CE，

在Rt△ADH中,DH=ADcos30°=AD，

∵AD=AE，AH⊥DE，

∴DH=HE，

∵CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD.

拓展延伸：①證明：如圖3中，作BH⊥AE于H，連接BE.

∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=120°，

∴△ABD，△BDC是等邊三角形，

∴BA=BD=BC，

∵E、C關于BM對稱，

∴BC=BE=BD=BA，FE=FC，

∴A、D. E. C四點共圓，

∴∠ADC=∠AEC=120°，

∴∠FEC=60°，

∴△EFC是等邊三角形，

②∵AE=5，EC=EF=2，

∴AH=HE=2.5，FH=4.5，

在Rt△BHF中,∵∠BHF=30°，

∴ =cos30°，

∴BF= .