Question

【題目】定義：點P是△ABC內部或邊上的點（頂點除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一個三角形與△ABC相似，則稱點P是△ABC的自相似點．

例如：如圖1，點P在△ABC的內部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，則△BCP∽△ABC，故點P為△ABC的自相似點．

請你運用所學知識，結合上述材料，解決下列問題：

在平面直角坐標系中，點M是曲線C：上的任意一點，點N是x軸正半軸上的任意一點．

（1） 如圖2，點P是OM上一點，∠ONP=∠M, 試說明點P是△MON的自相似點； 當點M的坐標是，點N的坐標是時，求點P 的坐標；

（2） 如圖3，當點M的坐標是，點N的坐標是時，求△MON的自相似點的坐標；

（3） 是否存在點M和點N,使△MON無自相似點,？若存在，請直接寫出這兩點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在，

【解析】

試題分析：（1）易證點P是三角形MON的自相似點，過點P作PD⊥x軸于D點根據M、N坐標易知∠MNO=90°，再利用三角函數可求出P點坐標；（2）根據坐標發現ON=MN=2，要找自相似點只能在∠ONM中做∠ONP=∠OMN或∠MNP=∠MON,分別畫出圖形，根據圖形性質，結合相似可求出自相似點的坐標；（3）根據前兩問可發現，要想有自相似點，其實質就是在大角里面做小角，當三個角都相等時，即△OMN為等邊三角形時，不存在自相似點，因此可得到直線OM的解析式y=x，與的交點就是M，從而可以求得N的坐標.

試題解析：(1)在△ONP和△OMN中，

∵∠ONP=∠OMN，∠NOP=∠MON

∴△ONP∽△OMN

∴點P是△M0N的自相似點.

過點P作PD⊥x軸于D點．

∴.

∵，

∴, ∴.

在Rt△OPN中，.

.

. ∴.

（2）①如圖2，過點M作MH⊥x軸于H點,

∵ ,

∴，直線OM的表達式為．

∵是△M0N的自相似點，∴△∽△NOM

過點作⊥x軸于Q點，

∴

∵的橫坐標為1，∴ ∴．

如圖3，△∽△NOM ，

∴ ∴ ．

∵的縱坐標為，

∴ ∴,

∴．

綜上所述，或．

（3）存在，．