Question

【題目】如圖,直線AB與坐標軸分別交于點A、點B,且OA、OB的長分別為方程x2－6x+8=0的兩個根（OA＜OB）,點C在y軸上,且OA︰AC=2︰5,直線CD垂直于直線AB于點P,交x軸于點D.

（1）求出點A、點B的坐標.

（2）請求出直線CD的解析式.

（3）若點M為坐標平面內任意一點,在坐標平面內是否存在這樣的點M,使以點B、P、D、M為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點M的坐標；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）A(0,2)，B(－4,0);（2）直線CD的解析式:yCD=－2x+7;（3）存在，，，．

【解析】

（1）根據一元二次方程的解法得出OA=2，OB=4，即可得出的A，B的坐標；

（2）首先利用角之間的關系得出△BOA∽△COD，即可得出D點的坐標，再利用待定系數法求一次函數解析式；

（3）先求出P點坐標（2，3），再根據平行四邊形的性質，當PM=BD，M可在第一象限或第二象限，以及BM=PD時M在第三象限分別分析直接得出答案．

(1)∵

∴

∵OA、OB為方程的兩個根，且OA＜OB

∴OA=2，OB=4,

∴ A(0,2)，B(－4,0),

(2)∵OA:AC=2:5

∴ AC=5

∴OC=OA+AC=2+5=7

∴ C(0,7),

∵∠BAO=∠CAP,∠CPB=∠BOA=90O

∴∠PBD=∠OCD

∵∠ BOA=∠COD=90O

∴△BOA∽△COD

∴=

∴ OD===,

∴D(,0)

設直線CD的解析式為

把x=0,y=7;x=,y=0分別代入得：

∴

∴yCD=－2x+7,

(3)存在，

,

設直線AB的解析式為：

解得：

故直線AB的解析式為：

將直線AB與直線CD聯立

解得：

P點坐標

，

當是平行四邊形

則

當是平行四邊形

則

P到軸距離等于到軸距離，故的縱坐標為-3

的橫坐標為2.5

的坐標為

綜上所述M點的坐標為：，，．