Question

【題目】如圖，中，，若動點從點開始，按的路徑運動，且速度為每秒，設出發的時間為秒.

（1）當為幾秒時，平分；

（2）問為何值時，為等腰三角形？

（3）另有一點，從點開始，按的路徑運動，且速度為每秒，若兩點同時出發，當中有一點到達終點時，另一點也停止運動. 當為何值時，直線把的周長分成相等的兩部分？

Answer 1

【答案】（1）3；

（2）或或或時為等腰三角形；

（3）或時，直線把的周長分成相等的兩部分.

【解析】

（1）過點P作PQ⊥AB，根據勾股定理求出AC，再根據角平分線的性質可分別求出PM=PC，BM=BC，從而求出AM，設PM=PC=x，則AP=8－x，然后利用勾股定理列方程即可求出PC的長，從而求出時間t.

（2）根據等腰三角形的腰情況分類討論：1°若在邊上時，，易求時間t；2°若在邊上時，有三種情況：①若使，先求出P的運動路程，然后求t即可；②若，過作斜邊的高CD，先求出P的運動路程，然后求t即可；③若時，先求出P的運動路程，然后求t即可；

（3）先求出△ABC的周長，再根據相遇前和相遇后分類討論：①相遇前當點在上，在上，然后根據△ABC的周長的一半列方程即可求出t；②相遇后當點在上，在上，原理同上.

（1）如圖所示，過點P作PQ⊥AB

∵

根據勾股定理可知：AC=

∵平分,∠C=90°，PQ⊥AB

∴PM=PC，∠MPB=90°－∠MBP =90°－∠CBP =∠CPB

∴BM=BC=6cm

∴AM=AB－BM=4

設PM=PC=x，則AP=8－x

根據勾股定理：

∴

解得x=3

∴PM=PC=3cm

∵點P速度為每秒

∴當= PC÷1=3秒時，平分；

（2）1°若在邊上時，，如圖所示，

此時用的時間為：t=PC÷1=，為等腰三角形；

2°若在邊上時，有三種情況：

①若使，如圖所示

此時，

∴運動的路程為AC＋AP=，

∴所以用的時間為：t=， 為等腰三角形；

②若，過作斜邊的高CD，如圖所示

∴BP=2BD

∵

解得：，

根據勾股定理

，

∴運動的路程為，

∴所以用的時間為：t=， 為等腰三角形；

③若時，如圖所示，

則，

∵，

∴，

∴

∴

∴的路程為AC＋AP=，

∴所以用的時間為：t=， 為等腰三角形.

∴綜上所述：或或或時，為等腰三角形.

（3）△ABC的周長為：AB+BC+AC=24cm，周長的一半為：12cm

①相遇前當點在上，在上，

則，

解得：；

②相遇后當點在上，在上，

則，

，

∴，

綜上所述：或時，直線把的周長分成相等的兩部分.