Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，點E是DC的中點，過點E作DC的垂線交AB于點P，交CB的延長線于點M．點F在線段ME上，且滿足CF＝AD，MF＝MA．

(1)若∠MFC＝120°，求證：AM＝2MB；
(2)求證：∠MPB＝90°－∠FCM．  

Answer 1

(1) 連結MD,
E是DC的中點，且ME⊥DC
EM是CD的垂直平分線
MD=MC
△AMD和△FMC中
AM=FM
MD=MC
AD=FC
△AMD△FMC  (SSS)
MAD=MFC=125
又AD∥BC 且∠ABC=90
 BAD=90
 MAB=35
 MB=AM
即MB=MF
MF=2MB
(2) MD="MC" 且ME⊥DC       
 ME平分DMC
FMC=DMC
又 AD∥MC
DMC=ADM
又△AMD△FMC
ADM=FCM
DMC=FCM
FMC=FCM
Rt△BPM中
MPB=90-FMC
=90-FCM

解析