Question

如圖，將矩形紙片ABCD按如下的順序進行折疊：對折，展平，得折痕EF（如圖①）；沿CG折疊，使點B落在EF上的點B′處，（如圖②）；展平，得折痕GC（如圖③）；沿GH折疊，使點C落在DH上的點C′處，（如圖④）；沿GC′折疊（如圖⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如圖 ⑥）．
（1）求圖 ②中∠BCB′的大小；
（2）圖⑥中的△GCC′是正三角形嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由折疊的性質知：B′C=BC，然后在Rt△B′FC中，含30°角的直角三角形的性質，即可求得∠BCB′的度數；
（2）首先根據題意得：GC平分∠BCB′，即可求得∠GCC′的度數，然后由折疊的性質知：GH是線段CC′的對稱軸，可得GC′=GC，即可得△GCC′是正三角形．

解答：解：（1）由折疊的性質知：B′C=BC，
在Rt△B′FC中，
∵FC是斜邊B′C的一半，
∴∠FB′C=30°，
∴∠BCB′=60°
即∠BCB′=60°；

（2）圖⑥中的△CGC'是正三角形
理由如下：
∵GC平分∠BCB′，
∴∠GCB=

1

2

∠GCC′=

1

2

∠BCB′=30°，
∴∠GCC′=∠BCD-∠BCG=60°，
由折疊的性質知：GH是線段CC′的對稱軸，
∴GC′=GC，
∴△GCC′是正三角形．

點評：此題考查了折疊的性質與正三角形的判定，以及三角函數的性質．此題難度不大，解題的關鍵是數形結合思想的應用．