【題目】如圖，在Rt△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm，P點在BC上，從B點到C點運動（不包括 C點），點 P運動的速度為1cm/s；Q點在AC上從C點運動到A點（不包括A點），速度為2cm/s，若點 P、Q 分別從B、C 同時運動，且運動時間記為t秒，請解答下面的問題，并寫出探索的主要過程．
（1）當 t 為何值時，P、Q 兩點的距離為 4
cm？
（2）請用配方法說明，點P運動多少時間時，四邊形BPQA的面積最小？最小面積是多少？
【答案】(1) 2或
;(2) 3秒，15cm2．
【解析】
（1）根據勾股定理PC2+CQ2=PQ2，便可求出經過2或s后，P、Q兩點的距離為4
cm；（2）根據三角形的面積公式S△PCQ=
×PC×CQ以及二次函數最值便可求出t=1.75s時△PCQ的面積最大，進而求出四邊形BPQA的面積最小值．
：（1）∵在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=10cm，
設經過ts后，P、Q兩點的距離為4cm，
ts后，PC=6-t cm，CQ=2t cm，
根據勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2，
代入數據（6-t）2+（2t）2=（4）2；
解得t=2或t=，
故t為2或時，P、Q兩點的距離為4cm；
（2）設經過ts后，△PCQ的面積最大，則此時四邊形BPQA的面積最小，
ts后，PC=6-tcm，CQ=2t cm，
S△PCQ=×PC×CQ=×（6-t）×2t=-t2+6t
當t=-
時，即t=3s時，△PCQ的面積最大，
即S△PCQ=
×PC×CQ=×（6-3）×6=9（cm2），
∴四邊形BPQA的面積最小值為：S△ABC-S△PCQ最大=×6×8-9=15（cm2），
當點P運動3秒時，四邊形BPQA的面積最小為：15cm2．
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【題目】如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AH⊥BC，點E是AH上一點，延長AH至點F，使FH=EH.
(1)求證：四邊形EBFC是菱形；
(2)如果∠BAC=∠ECF，求證：AC⊥CF.
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【題目】如圖，在△ABC中，E是AC邊上的一點，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB為直徑作⊙O交AC于點D，交BE于點F．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若AB=8，BC=6，求DE的長．
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【題目】某公司生產的某種產品每件成本為40元，經市場調查整理出如下信息：
①該產品90天內日銷售量（m件）與時間（第x天）滿足一次函數關系，部分數據如下表：
時間（第x天） | 1 | 3 | 6 | 10 | … |
日銷售量（m件） | 198 | 194 | 188 | 180 | … |
②該產品90天內每天的銷售價格與時間（第x天）的關系如下表：
時間（第x天） | 1≤x＜50 | 50≤x≤90 |
銷售價格（元/件） | x+60 | 100 |
（1）求m關于x的一次函數表達式；
（2）設銷售該產品每天利潤為y元，請寫出y關于x的函數表達式，并求出在90天內該產品哪天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？【提示：每天銷售利潤=日銷售量×（每件銷售價格-每件成本）】
（3）在該產品銷售的過程中，共有多少天銷售利潤不低于5400元，請直接寫出結果．
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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣4x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以AB為邊在第一象限作正方形ABCD，將正方形ABCD沿x軸負方向平移a個單位長度后，點C恰好落在雙曲線在第一象限的分支上，則a的值是_____．
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【題目】如圖，在Rt△ABC中，
，AD平分∠BAC，交BC于點D，點O在AB上，⊙O經過A、D兩點，交AC于點E，交AB于點F．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑是2cm，E是弧AD的中點，求陰影部分的面積（結果保留π和根號）
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【題目】（數學概念）
若等邊三角形的三個頂點D、E、F分別在△ABC的三條邊上，我們稱等邊三角形DEF是△ABC的內接正三角形．
（概念辨析）
（1）下列圖中△DEF均為等邊三角形，則滿足△DEF是△ABC的內接正三角形的是 ．
A．
B．
C．
（操作驗證）
（2）如圖①．在△ABC中，∠B＝60°，D為邊AB上一定點（BC＞BD），DE＝DB，EM平分∠DEC，交邊AC于點M，△DME的外接圓與邊BC的另一個交點為N．
求證：△DMN是△ABC的內接正三角形．
（知識應用）
（3）如圖②．在△ABC中，∠B＝60°，∠A＝45°，BC＝2，D是邊AB上的動點，若邊BC上存在一點E，使得以DE為邊的等邊三角形DEF是△ABC的內接正三角形．設△DEF的外接圓⊙O與邊BC的另一個交點為K，則DK的最大值為 ，最小值為 ．
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【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分線，點O在AB上，以點O為圓心，OB為半徑的圓經過點D，交BC于點E．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若OB=10，CD=
，求圖中陰影部分的面積．
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