Question

【題目】問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE

（1）填空：①∠AEB的度數(shù)為；②線段BE、AD之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）拓展探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）60°；AD=BE
（2）

①∵△ACB與△DCE都為等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，

∴∠ADC=180°﹣∠CDE=135°，

∵∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=90°

∴∠ACD=∠ECB，

∴在△ACD與△BCE中有

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠BEC=∠ADC=135°，AD=BE，

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°，

故∠AEB的度數(shù)為90°；

②∵CM⊥DE，△CDE為等腰直角三角形，

∴DM=DE（三線合一）

∴CM= DE，

∴AE=AD+DE=BE+2CM，

即：線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系為：AE=BE+2CM

【解析】解：（1）∵△ACB與△DCE都為等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=∠CED=60°，
∴∠ADC=180°﹣∠CDE=60°，
∵∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°
∴∠ACD=∠ECB，
∴在△ACD與△BCE中有

∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BEC=∠ADC=120°，AD=BE，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°，
故答案為：60°，AD=BE；
（1）根據(jù)已知條件可以判定：△ACD≌△BCE，可得AD=BE，再由角度關(guān)系求得∠AEB=60°；（2）同（1）可證：△ACD≌△BCE，得到AD=BE，∠AEB=90°，再由CM⊥DE，可得CM= DE，進(jìn)而可求得線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系為：AE=BE+2CM．