Question

2．如圖，OA是⊙M的直徑，點B在x軸上，連接AB交⊙M于點C．
（1）若點A的坐標為（0，2），∠ABO=30°，求點B的坐標．
（2）若D為OB的中點，求證：直線CD是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）由點A的坐標可知OA的長度，根據∠ABO的度數可知，AB的長度為4，利用勾股定理即可求出OB的長度，從而求出B的坐標．
（2）連接OC、MC、證明∠OCB為直角，根據D為OB的中點，可知∠DCO=∠DOC，易知∠OCM=∠COM，所以∠MCO+∠DCO=∠MCD=90°，即可求證MC⊥CD．

解答 解：（1）∵A的坐標為（0，2）
∴OA=2，
∵∠ABO=30°，∠AOB=90°，
∴AB=2OA=4，
∴由勾股定理可知：OB=2$\sqrt{3}$，
∴B（2$\sqrt{3}$，0）
（2）連接OC，MC
∵OA是⊙M的直徑，
∴∠ACO=90°，
∴∠OCB=90°，
在Rt△OCB中，D為OB的中點，
∴CD=$\frac{1}{2}$OB=OD，
∴∠DCO=∠DOC，
∵MC=MO，
∴∠OCM=∠COM
∵∠MOC+∠DOC=∠AOB=90°，
∴∠MCO+∠DCO=∠MCD=90°
即MC⊥CD
∴直線CD是⊙M的切線．

點評 本題考查切線的判定，解題的關鍵是連接MC、OC、根據直角三角形斜邊上中線的性質，圓周角定理，等腰三角形的性質求出MC⊥CD，本題屬于中等題型．