Question

【題目】探究與發現：

（1）探究一：三角形的一個內角與另兩個內角的平分線所夾的角之間的關系
已知：如圖1，在△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，
試探究∠P與∠A的數量關系，并說明理由．
（2）探究二：四邊形的兩個個內角與另兩個內角的平分線所夾的角之間的關系
已知：如圖2，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，
試探究∠P與∠A＋∠B的數量關系，并說明理由．
（3）探究三：六邊形的四個內角與另兩個內角的平分線所夾的角之間的關系
已知：如圖3，在六邊形ABCDEF中，DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，
請直接寫出∠P與∠A＋∠B＋∠E＋∠F的數量關系： ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，

∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠ACD，

∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，

=180°- ∠ADC- ∠ACD，

=180°- （∠ADC+∠ACD），

=180°- （180°-∠A），

=90°+ ∠A；

（2）

∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，

∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠BCD，

∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，

=180°- ∠ADC- ∠BCD，

=180°- （∠ADC+∠BCD），

=180°- （360°-∠A-∠B），

= （∠A+∠B）；

（3）六邊形ABCDEF的內角和為：（6-2）?180°=720°，
∵DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC= ∠EDC，∠PCD= ∠BCD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°- ∠EDC- ∠BCD，
=180°- （∠EDC+∠ACD），
=180°- （720°-∠A-∠B-∠E-∠F），
= （∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，
即∠P= （∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．
【解析】探究一：根據角平分線的定義可得∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠ACD，然后根據三角形內角和定理列式整理即可得解；
探究二：根據四邊形的內角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；
探究三：根據六邊形的內角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的內角和外角的相關知識，掌握三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角，以及對多邊形內角與外角的理解，了解多邊形的內角和定理：n邊形的內角和等于（n-2）180°.多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°．