Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交于點A1，

（1）分別計算：當∠A分別為700、800時，求∠A1的度數.

（2）根據（1）中的計算結果，寫出∠A與∠A1之間的數量關系___________________.

（3）∠A1BC的角平分線與∠A1CD的角平分線交于點A2，∠A2BC的角平分線與∠A2CD的角平分線交于點A3，如此繼續下去可得A4，…，∠An，請寫出∠A5與∠A的數量關系_________________.

（4）如圖2，若E為BA延長線上一動點，連EC，∠AEC與∠ACE的角平分線交于Q，當E滑動時，有下面兩個結論：①∠Q+∠A1的值為定值；②∠D-∠A1的值為定值.

其中有且只有一個是正確的，請寫出正確的結論，并求出其值.

Answer 1

【答案】（1）∠A1=350 和∠A1=400;（2）∠A=2∠A1;（3）∠A5=∠A;（4）①的結論是正確的，∠Q+∠A1=1800

【解析】

（1）由三角形的外角性質易知：∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC，而∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交于A1，可得∠A1=（∠ACD-∠ABC）=∠A

（2）根據（1）可得到∠A=2∠A1

（3）根據（1）可得到∠A2=∠A1=∠A，∠A3=∠A2=∠A，…依此類推，∠An=∠A，根據這個規律即可解題.

（4）用三角形的外角性質求解，易知2∠A1=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE），利用三角形內角和定理表示出∠QEC+∠QCE，即可得到∠A1和∠Q的關系．

解：（1）∵A1C、A1B分別是∠ACD、∠ABC的角平分線

∴∠A1BC= ∠ABC，∠A1CD=∠ACD

由三角形的外角性質知：∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC，即：

∠A1=（∠ACD-∠ABC）=∠A；

當∠A=70°時，∠A1=35°；當∠A=80°，∠A1=40°．

（2）由（1）可知∠A1==∠A

即∠A=2∠A1

（3）同（1）可求得：

∠A2=∠A1=∠A，

∠A3=∠A2=∠A，

…

依此類推，∠An=∠A；

當n=5時，∠A5=∠A=∠A

（4）△ABC中，由三角形的外角性質知：∠BAC=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE）；

即：2∠A1=2（180°-∠Q），

化簡得：∠A1+∠Q=180°

故①的結論是正確的，且這個定值為180°.