Question

【題目】已知點F是等邊△ABC的邊BC延長線上一點，以CF為邊，作菱形CDEF，使菱形CDEF與等邊△ABC在BC的同側，且CD∥AB，連結BE．

（1）如圖①，若AB=10，EF=8，請計算△BEF的面積；
（2）如圖②，若點G是BE的中點，連接AG、DG、AD．試探究AG與DG的位置和數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

∵等邊△ABC，

∴BC=AB=10，∠ABC=60°，

∵AB∥CD，

菱形DCFE中，DC∥EF，

∴AB∥EF，

∴∠EFH=∠ABC=60°，

∵EH⊥CF

∴∠FEH=30°

∴FH= ，

∴EH= =4 ，

∵菱形CFED，EF=8，

∴CF=EF=8，

∴BF=BC+EF=18，

∴

（2）

解：AG⊥GD，AG= DG

理由如下：

如圖2，延長DG與BC交于M，連接AM，

∵四邊形CDEF是菱形，

∴DE=DC，DE∥CF，

∴∠GBM=∠GED，∠GMB=∠GDE，

∵G是BC的中點，

∴BG=EG，

在△BGH和△EGD中，

∴△BGM≌△EGD（AAS），

∴BM=ED=CD，MG=DG，

∵等邊△ABC中，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

又∵AB∥CD

∴∠DCF=∠ABC=60°，

∴∠ACD=180°﹣（∠ACB+∠DCF）=60°，

∴∠ABC=∠ACD，

在△ABH和△ACD中，

∵ ，

∴△ABM≌△ACD（SAS），

∴∠BAM=∠CAD，AM=AD，

∴∠MAD=∠BAC=60°

∵AD=AM，MG=DG，

∴△MAD是等邊三角形，

∴AG⊥MD，∠MAG=∠DAG=30°，

∴AG：DG= ，

∴AG= DG．

【解析】（1）如圖1，作高線EH，利用平行線的性質得：∠FEH=30°，則FH= ，利用勾股定理求EH的長，利用三角形面積公式求面積即可；（2）如圖2，作輔助線，構建全等三角形，先證△BGM≌△EGD，則BM=ED=CD，MG=DG，再證明△ABM≌△ACD，則∠BAM=∠CAD，AM=AD，所以△MAD是等邊三角形，由三線合一可得結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行線的性質和勾股定理的概念的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．