Question

如圖①，在平面直角坐標系中，點P（0，m²）（m＞0）在y軸正半軸上，過點P作平行于x軸的直線，分別交拋物線C₁：于點A、B，交拋物線C₂：于點C、D．原點O關于直線AB的對稱點為點Q，分別連接OA，OB，QC和QD．

【猜想與證明】

填表：

m	1	2	3

由上表猜想：對任意m（m＞0）均有=　  　．請證明你的猜想．

【探究與應用】

（1）利用上面的結論，可得△AOB與△CQD面積比為　  　；

（2）當△AOB和△CQD中有一個是等腰直角三角形時，求△CQD與△AOB面積之差；

【聯想與拓展】

如圖②過點A作y軸的平行線交拋物線C₂于點E，過點D作y軸的平行線交拋物線C₁于點F．在y軸上任取一點M，連接MA、ME、MD和MF，則△MAE與△MDF面積的比值為　  　．

 

 

Answer 1

【答案】

猜想與證明：

填表為：

m	1	2	3

。理由見解析

探究與運用：

（1）。

（2）27。

聯想與拓展

。

【解析】

試題分析：猜想與證明：

當m=1時，1=x²，1=x²，∴x=±2，x=±3。∴AB=4，CD=6。∴。

當m=2時，4=x²，4=x²，∴x=±4，x=±6�！郃B=8，CD=12�！�。

當m=3時，9=x²，9=x²，∴x=±6，x=±9�！郃B=12，CD=18�！�。

探究與證明：

（1）由條件可以得出△AOB與△CQD高相等，就可以得出面積之比等于底之比而得出結論：

（2）分兩種情況討論，當△AOB為等腰直角三角形時，可以求出m的值就可以求出△AOB的面積，從而求出△CQD的面積，就可以求出其差，當△CQD為等腰直角三角形時，可以求出m的值就可以求出△CDQ的面積，進而可以求出結論。

解：猜想與證明：

填表為：

m	1	2	3

對任意m（m＞0）均有。證明如下：

將y=m²（m＞0）代入，得x=±2m，

∴A（﹣2m，m²），B（2m，m²）�！郃B=4m。

將y=m²（m＞0）代入，得x=±3m，

∴C（﹣3m，m²），D（3m，m²）。∴CD=6m。

∴。

∴對任意m（m＞0）均有。

探究與運用：

（1）∵O、Q關于直線CD對稱，∴PQ=OP。

∵CD∥x軸，∴∠DPQ=∠DPO=90°。∴△AOB與△CQD的高相等。

∵，∴AB=CD。

∵S_△AOB=AB•PO，S_△CQD=CD•PQ，∴。

（2）當△AOB為等腰直角三角形時，如圖，

∴PO=PB=m²，AB=2OP。

∴m²=m⁴�！�4m²=m⁴，解得m₁=0，m₂=﹣2，m₃=2。

∵m＞0，∴m=2。

∴OP=4，AB=8，PD=6，CD=12。

∴S_△AOB==16，S_△CQD==24。

∴S_△CQD﹣S_△AOB=24﹣16=8。

當△CQD是等腰直角三角形時，如圖，

∴PQ=PO=PD=m²，CD=2QP。

∴m²=m⁴�！�9m²=m⁴，∴m₁=0，m₂=﹣3，m₃=3。

∵m＞0，∴m=3。

∴OP=6，AB=12，PQ=9，CD=18。

∴S_△AOB==54，S_△CQD==81。

∴S_△CQD﹣S_△AOB=81﹣54=27。

聯想與拓展：

由猜想與證明可以得知A（﹣2m，m²），D（3m，m²），

∵AE∥y軸，DF∥y軸，∴E點的橫坐標為﹣2m，F點的橫坐標為3m。

∴y=（﹣2m）²，y=（3m）²，∴y=m²，y=m²。∴E（﹣2m， m²），F（3m， m²）。

∴AE=m²﹣m2=m²，DF=m²﹣m²=m²。

∴S_△AEM=×m²•2m=m³，S_△DFM=×m²•3m=m³�！�。