Question

（2013•衢州）【提出問題】
（1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結CN．求證：∠ABC=∠ACN．
【類比探究】
（2）如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．
【拓展延伸】
（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結CN．試探究∠ABC與∠ACN的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用SAS可證明△BAM≌△CAN，繼而得出結論；
（2）也可以通過證明△BAM≌△CAN，得出結論，和（1）的思路完全一樣．
（3）首先得出∠BAC=∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到

AB

AM

=

AC

AN

，根據∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN=∠MAN-∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，得出結論．

解答：（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，

AB=AC ∠BAM=∠CAN AM=AN

∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．

（2）解：結論∠ABC=∠ACN仍成立．
理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，

AB=AC ∠BAM=∠CAN AM=AN

∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．

（3）解：∠ABC=∠ACN．
理由如下：∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，
∴底角∠BAC=∠MAN，
∴△ABC∽△AMN，
∴

AB

AM

=

AC

AN

，
則

AB

AC

=

AM

AN

，
又∵∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN=∠MAN-∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是仔細觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質證明結論．