Question

（2012•青島）已知：如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，點(diǎn)O既是AC的中點(diǎn)，又是EF的中點(diǎn)．
（1）求證：△BOE≌△DOF；
（2）若OA=

1

2

BD，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)垂直可得∠BEO=∠DFO=90°，再由點(diǎn)O是EF的中點(diǎn)可得OE=OF，再加上對(duì)頂角∠DOF=∠BOE，可利用ASA證明△BOE≌△DOF；
（2）首先根據(jù)△BOE≌△DOF可得DO=BO，再加上條件AO=CO可得四邊形ABCD是平行四邊形，再證明DB=AC，可根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形證出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，
∴∠BEO=∠DFO=90°，
∵點(diǎn)O是EF的中點(diǎn)，
∴OE=OF，
又∵∠DOF=∠BOE，
∴△BOE≌△DOF（ASA）；

（2）解：四邊形ABCD是矩形．理由如下：
∵△BOE≌△DOF，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵OA=

1

2

BD，OA=

1

2

AC，
∴BD=AC，
∴?ABCD是矩形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及矩形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握矩形的判定定理：①矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）．