Question

利達經銷店為某工廠代銷一種建筑材料．當每噸售價為200元時，月銷售量為20噸．該經銷店為提高經營利潤，準備采取降價的方式進行促銷．經市場調查發現：當每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加5噸，綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用80元．設每噸材料售價為x（元），該經銷店的月利潤為y（元）．
（1）當每噸材料售價是180元時，計算此時的月銷售量；
（2）求出y與x的二次函數關系式（不要求寫出x的取值范圍）；
（3）每噸材料售價定為多少元時，該經銷店獲得的月利潤最大．

Answer 1

分析：（1）緊緊圍繞“當每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加5噸”列代數式就可以得出結論，
（2）由售價是x元，降價為（200-x），所以銷售量是增加5×

200-x

10

噸，那么售出的金額是x[（

200-x

10

×5）+20]，根據利潤=每件的利潤×銷售額，可以求出函數的解析式．
（3）由（2）的結論轉化為頂點式就可以求出售價和利潤的最大值．

解答：解：（1）由題意，得
20+5×

200-180

10

=30
（2）由題意，得
y=（x-80）（20+

200-x

10

×5），
y=-

1

2

x²+160x-9600
（3）∵y=-

1

2

x²+160x-9600
∴y=-

1

2

（x-160）²+3200，
∴每噸材料售價定為160元時，該經銷店獲得的月利潤最大為3200元．

點評：本題考查了把實際問題轉化為二次函數，再對二次函數進行實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．