Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．

（1）如圖1，若點D關于直線AE的對稱點為F，求證：△ADF∽△ABC；

（2）如圖2，在（1）的條件下，若α=45°，求證：DE2=BD2+CE2；

（3）如圖3，若α=45°，點E在BC的延長線上，則等式DE2=BD2+CE2還能成立嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）成立，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）根據軸對稱的性質可得∠EAF=∠DAE，AD=AF，再求出∠BAC=∠DAF，然后根據兩邊對應成比例，夾角相等兩三角形相似證明；

（2）根據軸對稱的性質可得EF=DE，AF=AD，再求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等，根據全等三角形對應邊相等可得CF=BD，全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理證明即可；

（3）作點D關于AE的對稱點F，連接EF、CF，根據軸對稱的性質可得EF=DE，AF=AD，再根據同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等，根據全等三角形對應邊相等可得CF=BD，全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理證明即可．

試題解析：（1）∵點D關于直線AE的對稱點為F，

∴∠EAF=∠DAE，AD=AF，

又∵∠BAC=2∠DAE，

∴∠BAC=∠DAF，

∵AB=AC，

∴，

∴△ADF∽△ABC；

（2）∵點D關于直線AE的對稱點為F，

∴EF=DE，AF=AD，

∵α=45°，

∴∠BAD=90°﹣∠CAD，

∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，

∴∠BAD=∠CAF，

在△ABD和△ACF中，

∴△ABD≌△ACF（SAS），

∴CF=BD，∠ACF=∠B，

∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=∠ACB=45°，

∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，

在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，

所以，DE2=BD2+CE2；

（3）DE2=BD2+CE2還能成立．

理由如下：作點D關于AE的對稱點F，連接EF、CF，

由軸對稱的性質得，EF=DE，AF=AD，

∵α=45°，

∴∠BAD=90°﹣∠CAD，

∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，

∴∠BAD=∠CAF，

由（2）得：CF=BD，∠ACF=∠B，

∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=∠ACB=45°，

∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，

在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，

所以，DE2=BD2+CE2．