Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，D為BC邊上一點，(不與點B、C)重合，將線段AD繞點A逆時針旋轉60°得到AE，連接EC，則∠ACE的度數是__________，線段AC，CD，CE之間的數量關系是_______________.

(2)2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC邊上一點(不與點B、C重合)，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接EC，請寫出∠ACE的度數及線段AD，BD，CD之間的數量關系，并說明理由.

(3)如圖3，在Rt△DBC中，DB=3，DC=5，∠BDC=90°，若點A滿足AB=AC，∠BAC=90°，請直接寫出線段AD的長度.

Answer 1

【答案】（1）60°，AC=DC+EC（2）∠ACE=45°，BD2+CD2=2AD2，詳見解析（3）AD=或AD=

【解析】

（1）證明△BAD≌△CAE，根據全等三角形的性質解答；

（2）根據全等三角形的性質得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根據勾股定理計算即可；

（3）如圖3，作AE⊥CD于E，連接AD，根據勾股定理得到BC==，推出點B，C，A，D四點共圓，根據圓周角定理得到∠ADE=45°，求得△ADE是等腰直角三角形，得到AE=DE，根據勾股定理即可得到結論．

(1)∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，

∴∠BAC=∠DAE=60°，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，，

∴△BAD≌△CAE(SAS)，

∴∠ACE=∠B=60°，BD=CE，

∴BC=BD+CD=EC+CD，

∴AC=BC=EC+CD；

故答案為：60°，AC=DC+EC；

(2)BD2+CD2=2AD2，

理由如下：由(1)得，△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，

∴∠DCE=90°，

∴CE2+CD2=ED2，

在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，

∴BD2+CD2=2AD2；

(3)如圖3，作AE⊥CD于E，連接AD，

∵在Rt△DBC中，DB=3，DC=5，∠BDC=90°，

∴BC=，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴AB=AC=，∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠BDC=∠BAC=90°，

∴點B，C，A，D四點共圓，

∴∠ADE=45°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴AE=DE，

∴CE=5DE，

∵AE2+CE2=AC2，

∴AE2+(5AE)2=17，

∴AE=1，AE=4，

∴AD=或AD=．