Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于，兩點，與軸相交于點，頂點為，直線與軸相交于點

（1）求拋物線的頂點坐標（用含的式子表示）；

（2）的長是否與值有關，說明你的理由；

（3）設，求的取值范圍；

（4）以為斜邊，在直線的左下方作等腰直角三角形.設，直接寫出關于的函數解析式及自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）頂點D（﹣1，-4a）；（2）OE=3，OE的長與a值無關，理由見解析；（3）；（4）n=﹣m﹣1（m＜1），理由見解析．

【解析】

（1）根據待定系數法，得，從而得y=ax2+2ax-3a，進而得到頂點的坐標；

（2）由y=ax2+2ax﹣3a，得C(0，﹣3a),D(﹣1，﹣4a)，從而得點E的坐標，即可得到結論；

（3）當β=45°時，OC=OE=3，求出a=﹣1，當β=60°時，OC=3，求出a=﹣，進而即可求解；

（4）作PM⊥對稱軸于M，PN⊥AB于N，易證△DPM≌△EPN，得PM=PN，DM=EN，結合D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，，即可得到結論．

（1）把，代入函數，得：

，解得：，

∴二次函數解析式為：y=ax2+2ax-3a，

∴頂點D(﹣1，-4a)；

（2）OE的長與a值無關，理由如下：

∵y=ax2+2ax﹣3a，

∴C(0，﹣3a),

∵D(﹣1，﹣4a)，

∴直線CD的解析式為：y=ax﹣3a，

∴當y=0時，x=3，

∴E(3，0)，

∴OE=3，

∴OE的長與a值無關；

（3）當β=45°時，OC=OE=3，

∴﹣3a=3，

∴a=﹣1，

當β=60°時，在Rt△OCE中，OC=OE=3，

∴﹣3a=3，

∴a=﹣，

∴45°≤β≤60°時，a的取值范圍為：；

（4）n=﹣m﹣1，m＜1，理由如下：

作PM⊥對稱軸于M，PN⊥AB于N．

∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，

∴∠DPM=∠EPN，

∴△DPM≌△EPN（AAS），

∴PM=PN，DM=EN．

∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，，

∴由PM=PN，得：-1-n=m，

∴n=﹣m﹣1，

當頂點D在x軸上時，P(1，﹣2)，此時m的值1．

∵拋物線的頂點在第二象限，

∴m＜1，

∴n=﹣m﹣1（m＜1）．