Question

【題目】如圖，在中，，，點D是AC的中點，直角的兩邊分別交AB、BC于點E、F，給出以下結論：①；②；③；④；⑤是等腰直角三角形. 當在內繞頂點D旋轉時(點E不與點A、B重合)，上述結論始終成立的有____________個.

Answer 1

【答案】4

【解析】

由ED垂直于FD，BD垂直于AC，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由三角形ABC為等腰直角三角形得到BD=CD，且∠EBD=∠C=45°，利用ASA得到三角形BED與三角形CFD全等，利用全等三角形的對應邊相等，對應角相等即可做出判斷．

∵ED⊥FD，BD⊥AC，

∴∠BDE+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDC=90°，

∴∠BDE=∠FDC，

∵B、E、D、F四點共圓，

∴∠BFE=∠BDE，

∴∠BFE=∠CDF，選項④正確；

∵△ABC為等腰直角三角形，BD⊥AC，

∴∠EBD=∠C=45°，BD=CD，

在△BED和△CFD中，

，

∴△BED≌△CFD（ASA），

∴BE=CF，

∴AE=BF，選項①正確；

DE=DF，

∴△DEF為等腰直角三角形，選項⑤正確；

∴S四邊形BEDF=S△BED+S△BDF=S△CFD+S△BDF=S△BDC=S△ABC，選項②正確．

∵BD是定值，EF隨DF的變化而變化，只有當DF⊥BC時，EF=BD，

∴③不正確，

∴上述結論中始終成立的有4個．

故答案為：4．