Question

【題目】在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm，點P從點A出發，沿折線ABCD方向以3cm/s的速度勻速運動；點Q從點D出發，沿線段DC方向以2cm/s的速度勻速運動. 已知兩點同時出發，當一個點到達終點時，另一點也停止運動，設運動時間為t（s）.

（1）求CD的長；
（2）當四邊形PBQD為平行四邊形時，求四邊形PBQD的周長；
（3）在點P、Q的運動過程中，是否存在某一時刻，使得△BPQ的面積為20cm2？若存在，請求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1：過點A作AM⊥CD于點M，
∵∠BCD=90°，
即BC⊥CD，
∴AM∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四邊形ABCM為平行四邊形，
∵∠BCD=90°，
∴平行四邊形ABCM為矩形，
∵AB=AD=10cm，BC=8cm，
∴AM=BC=8cm，CM=AB=10cm，
在Rt△ADM中，
∴DM==6cm,
∴CD=CM+MD=10+6=16cm.

（2）解：如圖2：
∵運動時間為t，
∴AP=3t，DQ=2t，
又∵AB=10cm，
∴PB=AB-AP=10-3t，
又∵四邊形PBQD為平行四邊形，
∴PB=DQ，
∴10-3t=2t，
∴t=2，
∴PB=DQ=4cm，
由（1）知CD=16cm，
∴CQ=12cm，
又∵BC=8cm，∠BCD=90°，
在Rt△BCQ中，
∴BQ==4cm，
∴CPBQD=2（PB+BQ）=2×（4+4）=8+8（cm）.


（3）解：①當P在AB上時，如圖3，
∵運動時間為t，
∴AP=3t，DQ=2t，
∴03t10，
∴0t，
又∵AB=10cm，BC=8cm，
∴PB=AB-AP=10-3t，
∴S△BPQ=.BP.BC=×（10-3t）×8=20，
∴t=.

②當P在BC上時，如圖4，
∵運動時間為t，
∴AP=3t，DQ=2t，
∴103t18，
∴t6，
又∵AB=10cm，BC=8cm，
∴PB=AB-AP=3t-10，
又由（1）知CD=16cm，
∴CQ=16-2t，
∴S△BPQ=.BP.CQ=×（3t-10）×（16-2t）=20，
∴3t2-34t+100=0，
∴△=342-4×3×100=-440，
∴從方程無解.

③當P在CD上時，若點P在點Q的右側，如圖5，
∵運動時間為t，
∴AP=3t，DQ=2t，
又∵AB=10cm，BC=8cm，
∴CP=AP-AB-BC=3t-18，
又由（1）知CD=16cm，
∴CQ=16-2t，
∴PQ=CQ-CP=（16-2t）-（3t-18）=34-5t，
∴，
∴6t.
∴S△BPQ=.PQ.BC=×（34-5t）×8=20，
∴t=6（不合題意，舍去）.

④當P在CD上時，若點P在點Q的左側，如圖6，
∵運動時間為t，
∴AP=3t，DQ=2t，
又∵AB=10cm，BC=8cm，
∴CP=AP-AB-BC=3t-18，
又由（1）知CD=16cm，
∴CQ=16-2t，
∴PQ=CP-CQ=（3t-18）-（16-2t）=5t-34，
∴，
∴t8.
∴S△BPQ=.PQ.BC=×（5t-34）×8=20，
∴t=.

綜上所述：當t=秒或秒時，△BPQ的面積為20cm2.

【解析】（1）如圖1：過點A作AM⊥CD于點M，由∠BCD=90°，AB∥CD得出四邊形ABCM為矩形，在Rt△ADM中，根據勾股定理求出DM=6cm，
從而求出CD=CM+MD=10+6=16cm.
（2）如圖2：由題意得出AP=3t，DQ=2t，PB=AB-AP=10-3t，由平行四邊形的性質求出t的值，從而得出PB=DQ=4cm，再由勾股定理求出
BQ的值，從而求出四邊形PBQD的周長.
（3）根據題意分四種情況討論：①當P在AB上時，如圖3；②當P在BC上時，如圖4；③當P在CD上時，若點P在點Q的右側，如圖5；④當P在CD上時，若點P在點Q的左側，如圖6；根據題意畫出符合所有條件的圖形，再由三角形的面積列出方程，求出符合范圍的數值即可.