Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，頂點為M的拋物線C：y＝ax2+bx與x軸的另一個交點為A（2，0），連接OM、AM，∠OMA＝90°．

（1）求拋物線C1的函數表達式；

（2）已知點D的坐標為（0，﹣2），將拋物線C1向上平移得到拋物線C2，拋物線C2與x軸分別交于點E、F（點E在點F的左側），如果△DOM與△MAF相似，求所有符合條件的拋物線C2的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x；（2）y＝（x﹣1）2+9或y＝﹣（x﹣1）2+4．

【解析】

（1）過M作MH⊥軸于H，可得OH＝AH＝MH＝OA＝1，則M（1，1），把點A（2，0）、M（1，1）代入y＝ax2+bx可解得，則拋物線C1的函數表達式為y＝﹣x2+2x；

（2）分兩種情況討論：①當△MOD∽△MAF時，，即，解得AF＝2，則F（4，0）；②當△MOD∽△FAM時， ，即，解得AF＝1．則F（3，0）．設拋物線C2的函數表達式為．把點F（4.0）、F．（3.0）分別代入得m＝9，m＝4．從而求出符合條件的拋物線C2的函數表達式為或．

解：（1）由拋物線的對稱性可得：OM＝AM．

∵∠OMA＝90°，

∴△OMA是等腰直角三角形，

過M作MH⊥工軸于H，

可得OH＝AH＝MH＝OA＝1．

∴M（1，1），

把點A（2，0）、M（1，1）代入y＝ax2+bx，可得

，

解得，

∴拋物線C1的函數表達式為y＝﹣x2+2x．

（2）∵△OMA是等腰直角三角形，

∴∠MOA＝∠MAO＝45°，OM＝AM＝，

∴MOD＝∠MOA+∠AOD＝135°＝∠MAF．

①當△MOD∽△MAF時，

，

即

解得AF＝2，

∴F（4，0）；

②當△MOD∽△FAM時，

，

即，

解得AF＝1．

∴F（3，0）．

∵拋物線C1向上平移得到拋物線C2，

∴設拋物線C2的函數表達式為．

把點F（4.0）、F．（3.0）分別代入得m＝9，m＝4．

綜上，所有符合條件的拋物線C2的函數表達式為或．