Question

下圖甲是任意一個直角三角形ABC，它的兩條直角邊的邊長分別為a、b，斜邊長為c．如圖乙、丙那樣分別取四個與直角三角形ABC全等的三角形，放在邊長為a+b的正方形內．

①圖乙、圖丙中（1）（2）（3）都是正方形．由圖可知：（1）是以

a

為邊長的正方形，（2）是以

b

為邊長的正方形，（3）的四條邊長都是

c

，且每個角都是直角，所以（3）是以

c

為邊長的正方形．
②圖中（1）的面積

a ²

，（2）的面積為

b ²

，（3）的面積為

c ²

．
③圖中（1）（2）面積之和為

a²+b ²

．
④圖中（1）（2）的面積之和與正方形（3）的面積有什么關系？為什么？由此你能得到關于直角三角形三邊長的關系嗎？

Answer 1

分析：根據圖形可以直接得出各正方形的邊長，進而得出各正方形面積，再通過兩個組合正方形的面積之間相等的關系即可證明勾股定理．

解答：解：①圖乙、圖丙中（1）（2）（3）都是正方形．由圖可知：（1）是以a為邊長的正方形，（2）是以b為邊長的正方形，
（3）的四條邊長都是c，且每個角都是直角，所以（3）是以c為邊長的正方形．
②圖中（1）的面積a ²，（2）的面積為b ²，（3）的面積為c ²．
③圖中（1）（2）面積之和為a²+b ²．
④由圖乙和圖丙可知大正方形的邊長為：a+b，則面積為（a+b）²，
圖乙中把大正方形的面積分為了四部分，分別是：邊長為a的正方形，邊長為b的正方形，還有兩個長為b，寬為a的長方形，
根據面積相等得：（a+b）2=a2+b2+4×

1

2

ab，
由圖丙可得（a+b）2=c2+4×

1

2

ab．
所以a²+b²=c²．
故答案為：①a，b，c，c；②a ²，b²，c ²；③a²+b ²．

點評：本題考查了利用圖形面積的關系證明勾股定理，解題關鍵是利用三角形和正方形邊長的關系進行組合圖形，