Question

3．已知拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+mx-2m-2（m≥0）與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左邊，與y軸交于點C
（1）當m=1時，求點A和點B的坐標
（2）拋物線上有一點D（-1，n），若△ACD的面積為5，求m的值
（3）P為拋物線上A、B之間一點（不包括A、B），PM⊥x軸于點M，求$\frac{AM•BM}{PM}$的值．

Answer 1

分析 （1）當m=1時，拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²+x-4．然后解方程$\frac{1}{2}$x²+x-4=0可得A、B的坐標；
（2）過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點F，如圖，解方程$\frac{1}{2}$x²+mx-2m-2=0得x₁=2，x₂=-2m-2，則A為（-2m-2，0），B（2，0），易得C（0，-2m-2），所以OA=OC=2m+2，則∠OAC=45°．利用D（-1，n）得到OE=1，AE=EF=2m+1．n=-3m-$\frac{3}{2}$，再計算出DF=m+$\frac{1}{2}$，利用三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$（m+$\frac{1}{2}$）（2m+2）=5．解方程得到m₁=$\frac{3}{2}$，m₂=-3，最后利用m≥0得到m=$\frac{3}{2}$；
（3）由（2）得點A（-2m-2，0），B（2，0）．設點P的坐標為（p，q）．則AM=p+2m+2，BM=2-p，
AM•BM=-p²-2mp+4m+4，PM=-q．再利用點P在拋物線上得到q=$\frac{1}{2}$p²+mp-2m-2，所以AM•BM=2 PM，從而得到$\frac{AM•BM}{PM}$的值．

解答 解：（1）當m=1時，拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²+x-4．
當y=0時，$\frac{1}{2}$x²+x-4=0，解得x₁=-4，x₂=2．
∴A（-4，0），B（2，0）；
（2）過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點F，如圖，
當y=0時，$\frac{1}{2}$x²+mx-2m-2=0，則（x-2）（x+2m+2）=0，
解得x₁=2，x₂=-2m-2，
∴點A的坐標為（-2m-2，0），B（2，0），
當x=0時，y=-2m-2，則C（0，-2m-2），
∴OA=OC=2m+2，
∴∠OAC=45°．
∵D（-1，n），
∴OE=1，
∴AE=EF=2m+1．
當x=-1時，n=$\frac{1}{2}$-m-2m-2=-3m-$\frac{3}{2}$，
∴DE=3m+$\frac{3}{2}$，
∴DF=3m+$\frac{3}{2}$-（2m+1）=m+$\frac{1}{2}$，
又∵S_△ACD=$\frac{1}{2}$DF•AO．
∴$\frac{1}{2}$（m+$\frac{1}{2}$）（2m+2）=5．
2m²+3m-9=0，解得m₁=$\frac{3}{2}$，m₂=-3．
∵m≥0，
∴m=$\frac{3}{2}$；
（3）點A的坐標為（-2m-2，0），點B的坐標為（2，0）．
設點P的坐標為（p，q）．則AM=p+2m+2，BM=2-p，
AM•BM=（p+2m+2）（ 2-p）=-p²-2mp+4m+4，
PM=-q．
因為點P在拋物線上，
所以q=$\frac{1}{2}$p²+mp-2m-2．
所以AM•BM=2 PM．
即$\frac{AM•BM}{PM}$=2．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．