Question

在平面直角坐標系中，直線AB與x軸，y軸相交于A，B兩點，直線AB的函數表達式為 y=-

3

4

x-6，圓M經過原點O，A，B三點．
（1）求出A，B的坐標；
（2）若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經過點M，頂點C在⊙M上且拋物線經過點B，求此拋物線的函數解析式；
（3）如圖，設（2）中求得的開口向下的拋物線交x軸于D、E兩點，拋物線上是否存在點P，使得S△PDE=

1

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S△ABC？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據一次函數與坐標軸交點坐標求法得出答案即可；
（2）利用頂點式由B點坐標求出二次函數解析式即可；
（3）首先求出△ABC的面積，進而求出D，E坐標，進而求出△PDE的高，即可求出P點坐標．

解答：解：（1）令y=0，得0=-

3

4

x-6，
x=-8，
令x=0，y=-6，
∴A（-8，0）B（0，-6）；

（2）∵CM⊥OA，
∴CM平分OA，
∵M為AB中點，
∴NM為△AOB中位線，
NM=

1

2

OB=3，
∴AM=5，
當拋物線開口向下時，頂點為C（-4，2）的拋物線解析式為：y=-

1

2

(x+4)2+2，
當拋物線開口向上時，頂點為C（-4，-8）的拋物線解析式為：y=

1

8

(x+4)2-8；

（3）∵CM=5，AD=4，DO=4，
∴S_△ABC=20，
∴S△PDE=

1

10

×20=2，
令y=0，得0=-

1

2

(x+4)2+2，
D（-6，0）E（-2，0），DE=4，
 

1

2

×h×4=2，
h=1，
當y=1時，
1=-

1

2

（x+4）²+2，
解得：x₁=-4+

2

，x₂=-4-

2

．
∴P₁（-4+

2

，1），P₂（-4-

2

，1）；
 當y=-1時，
 -1=-

1

2

(x+4)2+2，
解得：x=-4±

6

，
∴P₃（-4+

6

，-1），P₄（-4-

6

，-1）．
故拋物線上存在點P，使得S△PDE=

1

10

S△ABC，此時，點P的坐標為：P₁（-4+

2

，1），P₂（-4-

2

，1），P₃（-4+

6

，-1），P₄（-4-

6

，-1）．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及頂點式求二次函數解析式和一元二次方程的解法，此題綜合性較強，用到分類討論思想，注意不要漏解．