Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，E在線段AC上，D在AB的延長線，連DE交BC于F，過點E作EG⊥BC于G．

（1）若∠A＝50°，∠D＝30°，求∠GEF的度數；

（2）若BD＝CE，求證：FG＝BF+CG．

Answer 1

【答案】（1）55°；（2）見解析

【解析】

（1）根據等腰三角形兩底角相等及三角形內角和定理求出∠C，再根據直角三角形兩銳角互余求出∠CEG，然后根據三角形的外角的性質求出∠CEF，即可得到結論；

（2）過點E作EH∥AB交BC于H，根據平行線的性質可得∠ABC=∠EHC，∠D=∠FEH，然后求出∠EHC=∠C，再根據等角對等邊可得EC=EH，得出BD=EH，再利用“角角邊”證明△BDF和△HEF全等，根據全等三角形對應邊相等可得BF=FH，根據等腰三角形三線合一的性質可得CG=HG，即可得到結論．

（1）∵∠A=50°，∴∠C（180°﹣∠A）（180°﹣50°）=65°．

∵EG⊥BC，∴∠CEG=90°﹣∠C=90°﹣65°=25°．

∵∠A=50°，∠D=30°，∴∠CEF=∠A+∠D=50°+30°=80°，∴∠GEF=∠CEF﹣∠CEG=80°﹣25°=55°；

（2）過點E作EH∥AB交BC于H，則∠ABC=∠EHC，∠D=∠FEH．

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠EHC=∠C，∴EC=EH．

∵BD=CE，∴BD=EH．

在△BDF和△HEF中，∵，∴△BDF≌△HEF（AAS），∴BF=FH．

又∵EC=EH，EG⊥BC，∴CG=HG，∴FG=FH+HG=BF+CG．