Question

如圖，已知直線l分別與x軸、y軸交于A，B兩點，與雙曲線y=（a≠0，x＞0）分別交于D、E兩點．
（1）若點D的坐標為（4，1），點E的坐標為（1，4）：
①分別求出直線l與雙曲線的解析式；
②若將直線l向下平移m（m＞0）個單位，當m為何值時，直線l與雙曲線有且只有一個交點？
（2）假設點A的坐標為（a，0），點B的坐標為（0，b），點D為線段AB的n等分點，請直接寫出b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）①運用待定系數法可分別得到直線l與雙曲線的解析式；
②直線l向下平移m（m＞0）個單位得到y=-x=5-m，根據題意得方程組只有一組解時，化為關于x的方程得x²+（5-m）x+4=0，則△=（m-5）²-4×4=0，解得m₁=1，m₂=9，當m=9時，公共點不在第一象限，所以m=1；
（2）作DF⊥x軸，由DF∥OB得到△ADF∽△ABO，根據相似比可得到AF=，DF=，則D點坐標為（a-，），然后把D點坐標代入反比例函數解析式中即可得到b的值．
解答：解：（1）①把D（4，1）代入y=得a=1×4=4，
所以反比例函數解析式為y=（x＞0）；
設直線l的解析式為y=kx+t，
把D（4，1），E（1，4）代入得，
解得．
所以直線l的解析式為y=-x+5；
②直線l向下平移m（m＞0）個單位得到y=-x+5-m，
當方程組只有一組解時，直線l與雙曲線有且只有一個交點，
化為關于x的方程得x²+（5-m）x+4=0，
△=（m-5）²-4×4=0，解得m₁=1，m₂=9，
而m=9時，解得x=-2，故舍去，
所以當m=1時，直線l與雙曲線有且只有一個交點；

（2）作DF⊥x軸，如圖，
∵點D為線段AB的n等分點，
∴DA：AB=1：n，
∵DF∥OB，
∴△ADF∽△ABO，
∴==，即==，
∴AF=，DF=，
∴OF=a-，
∴D點坐標為（a-，），
把D（a-，）代入y=得（a-）•=a，
解得b=．
點評：本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求函數解析式；熟練運用相似比進行幾何計算．