Question

【題目】已知關于x的一元二次方程

求證：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數根；

若a和b是這個一元二次方程的兩個根，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3.

【解析】

（1）根據方程的系數結合根的判別式，可得出△=m2+4＞0，從而證出無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數根；

（2）由根與系數的關系可得出a+b=﹣[﹣（m+2）]，ab=m，結合a2+b2=（a+b）2﹣2ab解答．

（1）在關于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m=0中a=1，b=﹣（m+2），c=m，

所以△=m2+4m+4﹣4m=m2+4，

無論m取何值，m2+4＞0，

所以，無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數根；

（2）因為a和b是這個一元二次方程的兩個根，

所以a+b=﹣[﹣（m+2）]=m+2，ab=m，

所以a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（m+2）2﹣2m=m2+2m+4=（m+1）2+3．

無論m為何值，（m+1）2≥0，所以a2+b2的最小值為3．