Question

【題目】（1）如圖1，在四邊形中，，、分別是、的中點，連接并延長，分別與、的延長線交于點、，證明：．

請將證明的過程填寫完整：

證明：連接，取的中點，連接、．

是的中點，是的中點，

________，_______，同理：_______，_______，

，，

又，，，．

（2）運用上題方法解決下列問題：

問題一：如圖2，在四邊形中，與相交于點，，、分別是、的中點，連接，分別交、于點、，請判斷的形狀，并說明理由；

問題二：如圖3，在鈍角中，，點在上，、分別是、的中點，連接并延長，與的延長線交于點，連接，若，是直角三角形且，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；；；；（2）△OMN為等腰三角形，理由見詳解；（3）見詳解

【解析】

（1）根據題目已知條件補充完整即可；

解：（1）證明：連接，取的中點，連接、．

是的中點，是的中點，

，，同理：，，

，，

又，

，

，

．

故答案為：；；；；

（2）△OMN為等腰三角形；

證明：取AC中點P，連接PF，PE，

可知PE=，PE∥AB，

∴∠PEF=∠ANF，

同理PF=，

PF∥CD，

∴∠PFE=∠CME，

又PE=PF，

∴∠PFE=∠PEF，

∴∠OMN=∠ONM，

∴△OMN為等腰三角形；

（3）如圖連接BD，取BD的中點H，連接HF、HE，

∵F是AD的中點，

∴HF∥AB， HF=

同理，HE∥CD，HE=

∵GF為直角三角形斜邊上的中線

∴

∵

∴△AGF是等邊三角形

∴∠AGF=∠EFC=∠HFE=60°

∵

∴

∴

∴．