Question

【題目】在菱形ABCD中，∠BAD=120°，射線AP位于該菱形外側，點B關于直線AP的對稱點為E，連接BE、DE，直線DE與直線AP交于F，連接BF，設∠PAB=α．

（1）依題意補全圖1；

（2）如圖1，如果0°＜α＜30°，判斷∠ABF與∠ADF的數量關系，并證明；

（3）如圖2，如果30°＜α＜60°，寫出判斷線段DE，BF，DF之間數量關系的思路；（可以不寫出證明過程）

（4）如果60°＜α＜90°，直接寫出線段DE，BF，DF之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠ABF=∠ADF．見解析；（3）DF=ED﹣BF．見解析；（4）BF=DE+DF．

【解析】

試題分析：（1）根據題目要求補全圖形即可；

（2）連接AE．由軸對稱圖形的性質可知EA=AB，∠ABF=∠AEF，由菱形的定義可知AB=AD，從而得到AE=AD，由等腰三角形的性質可知∠AEF=∠ADF，于是得到∠ABF=∠ADF；

（3）由軸對稱圖形的性質可知EF=BF，然后由DF=ED﹣EF，可知DF=ED﹣BF；

（4）由軸對稱圖形的性質可知EF=BF，然后由EF=ED+DF，可知BF=DE+DF．

解：（1）如圖1所示：

（2）∠ABF=∠ADF．

理由：如圖2所示：連接AE．

∵點B與點E關于直線PA對稱，

∴EA=AB，∠ABF=∠AEF．

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=AD．

∴AE=AD．

∴∠AEF=∠ADF．

∴∠ABF=∠ADF．

（3）DF=ED﹣BF．

理由：如圖3所示：

∵點B與點E關于PA對稱，

∴EF=BF．

又∵DF=ED﹣EF，

∴DF=ED﹣BF．

（4）BF=DE+DF．

理由：如圖4所示：

∵點B與點E關于PA對稱，

∴EF=BF．

又∵EF=ED+DF，

∴BF=DE+DF．