Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，點(diǎn)E是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE，過(guò)點(diǎn)B，C分別作BD∥CE，CD∥BE，BD與CD相交于點(diǎn)D．

（1）當(dāng)CE⊥AB時(shí)，求證：四邊形BECD是矩形；

（2）填空：

①當(dāng)BE的長(zhǎng)為______時(shí)，四邊形BECD是菱形；

②在①的結(jié)論下，若點(diǎn)P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，EP，則AP+EP的最小值為______．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①；②3．

【解析】

（1）根據(jù)矩形的判定：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可證明；

（2）①根據(jù)菱形的判定定理：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可求解；

②根據(jù)對(duì)稱性：連接ED交BC于點(diǎn)P，此時(shí)AP+EP＝AD，最小，再過(guò)點(diǎn)D作DF垂直AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，根據(jù)勾股定理即可求解．

如圖所示：

（1）∵BD∥CE，CD∥BE，

∴四邊形BDCE是平行四邊形，

∵CE⊥AB，

∴∠BEC＝90°，

∴四邊形BECD是矩形；

（2）①當(dāng)BE的長(zhǎng)為時(shí)，四邊形BECD是菱形．理由如下：

連接ED，與BC交于點(diǎn)O，

∵四邊形BDCE是平行四邊形，

當(dāng)BC和DE互相垂直平分時(shí)，四邊形BDCE是菱形，

BO＝BC＝3，OE＝AC＝2，

∴根據(jù)勾股定理，得

BE＝＝＝．

故答案為．

②連接AD，與BC交于點(diǎn)P，連接PE，

此時(shí)PD＝PE，AP+EP最小，

∴AP+PE＝AP+PD＝AD，

過(guò)點(diǎn)D作DF垂直于AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

得矩形ODFC，

∴CF＝OD＝2，DF＝OC＝3，

∴AF＝AC+CF＝6，

∴在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理，得

AD＝＝＝3．

∴AP+EP的最小值為3．

故答案為3．