Question

如圖，已知A、B兩點的坐標分別為（2

3

，O）、（0，2），P是△AOB外接圓上的一點，且∠AOP=45°，
（1）求點P的坐標；

（2）連BP、AP，在PB上任取一點E，連AE，將線段AE繞A點順時針旋轉90°到AF，連BF，交AP于點G，當E在線段BP上運動時，（不與B、P重合），求

BE

PG

；

Answer 1

分析：（1）連接BP、AP，過P作x軸的垂線，設垂足為Q；由圓周角定理知AB是⊙O的直徑，而∠AOP=45°，
得出OP平分∠AOB，則弧BP=弧AP，由此可證得△ABP是等腰Rt△；易求得直徑AB的長，即可求出AP的值；在Rt△APQ中，易知PQ=OQ，可用OQ表示出BQ，由勾股定理即可求得OQ、PQ的長，即可得出P點的坐標．
（2）先過F作FK⊥AP，再證明△AFK≌△EAP和△GFK≌△CBP，最后解出結果即可．

解答：解：（1）連接AP、BP，過P作PQ⊥x軸于Q；

∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙O的直徑，則∠APB=90°；
Rt△AOB中，OB=2，OA=2

3

，由勾股定理，得AB=4；
∵∠AOP=45°，
∴OP平分∠AOB，
∴弧BP=弧AP；
則△ABP是等腰Rt△，AP=2

2

；
Rt△POQ中，∠POQ=45°，則PQ=OQ；
設PQ=OQ=x，則AQ=2

3

-x；
Rt△APQ中，由勾股定理得：
AP²=AQ²+PQ²，即（2

3

-x）²+x²=8，
解得x=

3

+1，x=

3

-1（舍去），
∵∠POA=45°，∠PQO=90°，
∴PQ=OQ=x=

3

+1；
即P點坐標為（

3

+l，

3

+1）；

（2）過F作FK⊥AP，則△AFK≌△EAP，

∴AK=PE，FK=AP=BP，
∴AP-AK=BP-PE，
∴PK=BE，
在△GFK和△GBP中，

∠FGK=∠PGB ∠FKG=∠BPG FK=PB

∴△GFK≌△GBP，
∴PG=GK，
∴PG=

1

2

PK=

1

2

BE，
∴

BE

PG

=2；

點評：此題主要考查了圓周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質等知識的綜合應用能力；能夠構建出與已知和所求相關的直角三角形是解答此題的關鍵．