Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點P是弦BC上一動點（不與B，C重合），過點P作PE⊥AB，垂足為E，在射線EP上取點D使得DC=DP，連接DC．

（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若∠CBA=30°，射線EP交⊙O于點 F，當點 F恰好是弧BC的中點時，判斷以B，O，C，F為頂點的四邊形是什么特殊四邊形？說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵DP=DC，

∴∠DPC=∠DCP，

∵∠DPC=∠BPE，

∴∠BPE=∠DCP，

∵PE⊥AB，

∴∠BEP=90°，

∴∠B+∠APE=90°，

∵OB=OC，

∴∠OCB=∠B，

∴∠OCB+∠DCP=90°，

∴OC⊥CD，

∴直線CD與⊙O相切

（2）解：以B、O、C、F為頂點的四邊形是菱形，理由如下：

連接AC，

∵∠CBA=30°，

∴∠A=60°，

∴△OAC為等邊三角形，

∴∠BOC=120°，

連接OF，BF，CF

∵F是弧BC的中點，

∴∠BOF=∠COF=60°，

∴△BOF與△COF均為等邊三角形，

∴BF=BO=OC=CF，

∴四邊形BOCF為菱形．

【解析】（1）連接OC，然后依據已知條件和圓的基本性質證明OC⊥CD，最后，依據切線的判定定理進行證明即可；
（2）連接AC，由∠CAB=30°可證明△OAC為等邊三角形，于是可得到∠BOC=120°，由F是弧AC的中點，易證明△BOF、△COF均為等邊三角形，依據等邊三角形的性質可得到BF=BO=OC=CF，從而可證明四邊形BOCF為菱形.

【考點精析】根據題目的已知條件，利用菱形的判定方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．