Question

【題目】△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，以D為頂點作∠MDN=∠B．

（1）如圖（1）當射線DN經過點A時，DM交AC邊于點E，不添加輔助線，寫出圖中所有與△ADE相似的三角形．

（2）如圖（2），將∠MDN繞點D沿逆時針方向旋轉，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F點（點E與點A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結論．

（3）在圖（2）中，若AB=AC=10，BC=12，當△DEF的面積等于△ABC的面積的時，求線段EF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）見解析 （3）5

【解析】

試題分析：1）圖（1）中與△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．

證明：∵AB=AC，D為BC的中點，

∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，

又∵∠MDN=∠B，

∴△ADE∽△ABD，

同理可得：△ADE∽△ACD，

∵∠MDN=∠C=∠B，

∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，

∠B=∠MDN，

∴∠BAD=∠EDC，

∵∠B=∠C，

∴△ABD∽△DCE，

∴△ADE∽△DCE，

（2）△BDF∽△CED∽△DEF，

證明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°

∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，

又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，

由AB=AC，得∠B=∠C，

∴△BDF∽△CED，

∴．

∵BD=CD，

∴．

又∵∠C=∠EDF，

∴△BDF∽△CED∽△DEF．

（3）連接AD，過D點作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分別為G，H．

∵AB=AC，D是BC的中點，

∴AD⊥BC，BD=BC=6．

在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，

∴AD=8

∴S△ABC=BCAD=×12×8=48．

S△DEF=S△ABC=×48=12．

又∵ADBD=AB．DH，

∴DH===，

∵△BDF∽△DEF，

∴∠DFB=∠EFD

∵DG⊥EF，DH⊥BF，

∴DH=DG=．

∵S△DEF=×EF×DG=12，

∴EF==5．