Question

某市政府大力扶持大學生創業．李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈．銷售過程中發現，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可近似的看作一次函數：y=-10x+500，
（1）設李明每月獲得利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？
（2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？
（3）根據物價部門規定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
（成本=進價×銷售量）

Answer 1

分析：（1）由題意得，每月銷售量與銷售單價之間的關系可近似看作一次函數，根據利潤=（定價-進價）×銷售量，從而列出關系式；
（2）令w=2000，然后解一元二次方程，從而求出銷售單價；
（3）根據函數解析式，利用一次函數的性質求出最低成本即可．

解答：解：（1）由題意得出：
W=（x-20）y=（x-20）（-10x+500）=-10x²+700x-10000，
x=-

b

2a

=35，
答：當銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤．

（2）由題意，得：-10x²+700x-10000=2000，
解這個方程得：x₁=30，x₂=40．
答：李明想要每月獲得2000元的利潤，銷售單價應定為30元或40元．

（3）∵a=-10＜0，
∴拋物線開口向下，
∴當30≤x≤40時，W≥2000，
∵x≤32，
∴當30≤x≤32時，W≥2000，
設成本為P（元），由題意，得：P=20（-10x+500）=-200x+10000
∵k=-200＜0，
∴P隨x的增大而減小．
∴當x=32時，P_最小=3600．
答：想要每月獲得的利潤不低于2000元，每月的成本最少為3600元．

點評：此題考查了一次函數和二次函數的性質及其應用，將實際問題轉化為求函數最值問題，從而來解決實際問題是解題關鍵．