Question

如圖1，正方形ABCD的頂點A，B的坐標分別為（0，10），（8，4），頂點C，D在第一象限．點P從點A出發，沿正方形按逆時針方向運動，同時，點Q從點E（4，0）出發，沿x軸正方向以相同速度運動．當點P到達點C時，P，Q兩點同時停止運動．設運動時間為t（s）．
（1）求正方形ABCD的邊長；
（2）當點P在AB邊上運動時，△OPQ的面積S（平方單位）與時間t（s）之間的函數圖象為拋物線的一部分（如圖2所示），求P，Q兩點的運動速度；
（3）求（2）中面積S（平方單位）與時間t（s）的函數解析式及面積S取最大值時點P的坐標；
（4）若點P，Q保持（2）中的速度不變，則點P沿著AB邊運動時，∠OPQ的大小隨著時間t的增大而增大；沿著BC邊運動時，∠OPQ的大小隨著時間t的增大而減小．當點P沿著這兩邊運動時，能使∠OPQ=90°嗎？若能，直接寫出這樣的點P的個數；若不能，直接寫不能．

Answer 1

分析：（1）本題要依靠輔助線的幫助．做BF垂直y軸，求出FB、FA、AB的值；
（2）由2可知，點P從點A運動到點B用了10s，求出AB的值；
（3）本題有多種解法．作PG⊥y軸于G，證明△AGP∽△AFB，求出線段比．然后再求出S的面積以及拋物線的對稱軸，最后求出t的最大值．

解答：解：（1）作BF⊥y軸于F．
∵A（0，10），B（8，4）
∴FB=8，FA=6，
∴AB=10；（2分）

（2）由圖2可知，點P從點A運動到點B用了10s（1分）
∵AB=10
∴P、Q兩點的運動速度均為每秒一個單位長度；（1分）

（3）解法1：作PG⊥y軸于G，則PG∥BF．
∴△AGP∽△AFB
∴

GA

FA

=

AP

AB

，即

GA

6

=

t

10

．
∴GA=

3

5

t．
∴OG=10-

3

5

t．（2分）
又∵OQ=4+t
∴S=

1

2

•OQ•OG=

1

2

(t+4)(10-

3

5

t)（2分）
即S=-

3

10

t2+

19

5

t+20
∵-

b

2a

=-

19 5

2×(- 3 10 )

=

19

3

，且

19

3

在0≤t≤10內，
∴當t=

19

3

時，S有最大值．
此時GP=

4

5

t=

76

15

，OG=10-

3

5

t=

31

5

，
∴P(

76

15

，

31

5

)（2分）
解法2：由圖2，可設S=at²+bt+20，
∵拋物線過（10，28）
∴可再取一個點，當t=5時，計算得S=

63

2

，
∴拋物線過（5，

63

2

），代入解析式，可求得a，b．評分參照解法1；

（4）這樣的點P有2個．（2分）

點評：本題考查的是二次函數的圖象以及二次函數解析式的靈活運用，考生要學會看二次函數圖以及把二次函數的兩點式，頂點式的公式熟記于心．