Question

【題目】正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，P是對角線AC上一動點，過點P作PF⊥CD于點F．如圖1，當點P與點O重合時，顯然有DF=CF．

（1）如圖2，若點P在線段AO上（不與點A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于點E．

①求證：DF=EF；

②寫出線段PC、PA、CE之間的一個等量關系；并說出理由；

（2）若點P在線段OC上（不與點O、C重合），PE⊥PB且PE交直線CD于點E．請完成圖3并判斷（1）中的結論①、②是否分別成立？若不成立，寫出相應的結論．（所寫結論均不必證明）

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②PC=CE+PA；（2）結論成立.

【解析】整體分析：

(1)連接PD，通過△BCP≌△DCP證得∠PBC=∠PDC，由四邊形PBCE的內角得到∠PED=∠PBC，即可證PD=PE，由等腰三角形的“三線合一”即可；(2)延長FP交AB于點G，由PC與CF的關系，結合EF=DF=AG逐漸轉化得到這三條線段間的數量關系；(3)根據題意畫出圖形，對比(2)中的結論求解.

解：(1)①連接PD，

∵四邊形ABCD是正方形，AC平分∠BCD，CB=CD，△BCP≌△DCP，

∴∠PBC=∠PDC，PB=PD

∵PB⊥PE，∠BCD=90°，

∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°，

∴∠PED=∠PBC=∠PDC，∴PD=PE，

∵PF⊥CD，∴DF=EF

②PC=CE+PA，理由如下：

延長FP交AB于點G，則四邊形ADFG是矩形，∴AG=DF.

∵△AGP是等腰直角三角形，∴AG=AP.

∵△FCP是等腰直角三角形，

∴CP=CF= (CE+EF)

= (CE+DF)= (CE+AG)

= (CE+AP)

=CE+PA.

(3)結論①成立，結論②不成立，此時②中的三條線段之間的數量關系為PA=CE+PC.